Около 60 назад в программе математики старших классов школы имелся раздел «Комбинаторика и бином Ньютона». Этот раздел довольно давно был исключён из программы школы, видимо, по причине его сложности, практически лишь ничтожно малое число учащихся старших классов школы было в состоянии этот раздел усвоить. На наш взгляд сложность этого раздела объясняется тем, что он был изложен на неадекватном языке, выдуманном исключительно и специально для изложения этого раздела и только для этого. Этот язык и его терминология нигде более не используются. Прошло немало лет с тех пор, как этот раздел был ликвидирован, и насколько мне известно, пока никем не предпринималось попыток восстановить этот раздел в школе на адекватном языке. А между тем это совсем нетрудно сделать, достаточно лишь перейти на современный язык теории множеств.

Исключительная важность этого раздела для интеллектуального развития детей, и не только детей, связана с тем обстоятельством, что именно здесь собраны все характерные задачи, которые составляют критерий достижения ребёнком так называемой четвёртой стадии Пиаже интеллектуального развития, которая называется «периодом формальных операций». Вот как описывает известный математик и педагог Сеймур Пейперт в книге [С.Пейперт. Переворот в сознании: дети, компьютеры и плодотворные идеи. Перевод с английского. Москва. Педагогика. 1989] разницу в интеллектуальном развитии детей до и после возрастной границы в 11 – 12 лет:

«Выделение стадии конкретных операций подтверждается тем наблюдением, что в нашем обществе дети в возрасте 6 – 7 лет обычно совершают прорыв во многих областях познания и, по-видимому, все сразу. Они оказываются в состоянии пользоваться числами, ориентироваться в пространстве и времени, рассуждать используя закон транзитивности, строить системы классификации. Но всё-таки остаются вещи, которые дети этого возраста делать не умеют. В частности, они запутываются в ситуациях, в которых требуется подумать не о том, каковы вещи, а о всех способах, какими эти вещи можно упорядочить.» [с. 174].

Далее Пейперт очень кратко приводит пример, который он (очевидно, следуя в этом Пиаже) считает наиболее типичным примером такого задания, которое отделяет детей 4-й стадии от детей 3-й стадии:

«Ребёнку даётся набор цветных шариков, например, зелёных, красных, голубых и чёрных, и его просят распределить эти шарики по всевозможным парам: зелёно-голубым, зелёно-красным, зелёно-чёрным – и затем проделать то же самое для трёх цветов и т.д. Подобно детям, до семилетнего возраста не осваивающим принцип сохранения, дети всего мира не в состоянии выполнить эту задачу по комбинаторике, пока им не исполнится 11 – 12 лет. На самом деле, многие интеллигентные взрослые в своей обычной жизни никогда не овладевают этой способностью.» Неудивительно!.

И далее:

«Разумеется, такие исследования были проведены при изучении стадий развития по Пиаже. Детей всех уровней развития, какие только в состоянии различить антрополог, и из сотен различных человеческих сообществ всех континентов просили ответить на вопрос о переливании жидкости и распределить шарики. Во всех случаях, когда вообще фиксировались навыки владения принципом сохранения и комбинаторикой, сохранением количества умели оперировать дети в возрасте 5 лет и старше, но всегда моложе по возрасту тех детей, которые справлялись с задачами по комбинаторике.» [с 176].

Что же это за задачи «по комбинаторике», о которых пишут Пейперт и Пиаже, и, которым они придают такое большое значение для диагностики интеллектуального развития ребёнка, точнее для диагностики его перехода с третьей на четвёртую стадию развития? Коротких фрагментов описания этих задач в книге Пейперта достаточно, чтобы понять, о чём тут идёт речь: в более адекватных математических терминах речь идёт о теории конечных множеств. Вот как задача о распределении цветных шариков по всевозможным парам цветов формулируется математически: задано конечное множество цветов (в описанном Пейпертом случае это множество состоит из 4 элементов), требуется выложить шариками все подмножества мощности 2 этого множества. Это одна из самых часто используемых задач теории конечных множеств: известно, что если множество M имеет мощность m (т.е. состоит из m элементов), то число его подмножеств мощности k равно m! / (k! * (n-k)!), здесь восклицательный знак после целого положительного числа обозначает «факториал»: m! = 1 * 2 * … * m – произведение всех целых чисел от 1 до m. Числа m! / (k! * (n-k)!) называются биномиальными коэффициентами, эти числа используются во многих формулах математики, например, в формуле бинома Ньютона. В примере Пейперта с цветными шариками четырёх цветов имеется ровно 6 пар цветных шариков: ребёнок, достигший 4-й стадии интеллектуального развития, должен суметь выложить все эти 6 пар шариков. В самом деле, в множестве мощности 4 подмножеств мощности 2 имеется 6, а подмножеств мощности 3 имеется 4.

Таким образом, мы приходим к заключению, что четвёртой стадией интеллектуального развития Пиаже фактически называет способность людей к простейшим операциям с конечными множествами.

Пейперт также заметил связь между «формальными операциями» Пиаже и способностью детей и людей к программированию. Пиаже такой связи, вероятно, не видел и не мог видеть, т.к. при его жизни (он умер в 1980 году) программирование, хотя и существовало, но было доступно только довольно узкой группе специалистов. Пейперт придаёт этой связи большое значение, т.к. видит в детском программировании огромный потенциал для интеллектуального развития детей, в чём с ним трудно не согласиться. Говоря о программировании, Пейперт имеет ввиду не профессиональное, а «детское» программирование, для этого он вместе со своими сотрудниками из Массачузетского технологического института создали специальный детский язык программирования «Лого». Язык «Лого» был разработан в 1967 году и вобрал в себя все самые передовые идеи программирования того времени.