Мы считаем, что перед нами множество если

1. Мы можем отличить его элементы от всего, что его элементами не является,

2. Мы можем эти элементы отличать один от другого.

Например, люди в этой комнате (в которой мы сейчас находимся) образуют множество, поскольку

1. мы можем отличить людей в комнате от всего, что людьми не является и мы можем отличить людей, находящихся в комнате, от людей находящихся вне комнаты.

2. Мы можем отличить людей в комнате одного от другого.

Натуральные числа образуют множество, т.к. мы отличаем натуральные числа от всего, что натуральными числами не является, например, от поросят, и мы отличаем одно натуральное число от другого, иначе говоря для двух заданных натуральных чисел мы можем сказать, равны они или нет.

Образуют ли множество все теоремы математики? Нет, не образуют, потому что невозможно сформулировать правила идентификации теорем, например, следует ли считать две теоремы совпадающими, если они отличаются перестановкой двух слов, которая не меняет смысла. Следует ли считать две теоремы совпадающими, если они легко в один шаг выводятся одна из другой?

Эти тонкости в понимании того, что такое множество, мы упомянули лишь для тех из наших читателей, которые хотят и могут глубоко вникать в обсуждаемые вопросы, но в данном продукте мы не касаемся таких тонкостей и ограничиваемся лишь примерами очень простых множеств, когда никаких сомнений и проблем такого типа не возникает. Прежде всего это конечные множества фигурок (мы называем их камешками) разного цвета и разной формы, находящихся на экране, а также различные множества подмножеств множества камешков или множества отображений двух множеств камешков.

Пусть имеется множество M и пусть заданы два его подмножества K и L. Мы считает эти два подмножества совпадающими если каждый элемент множества M, принадлежащий подмножеству K принадлежит также и подмножеству L, и наоборот, каждый элемент, принадлежащий подмножеству L, принадлежит также и подмножеству K. Следовательно, все подмножества множества M сами образуют множество: множество всех подмножеств множества M.