Рассмотрим произвольное множество M и рассмотрим множество G всех биекций множества M в себя. Композиция любых двух элементов множества G является элементом G, можно сказать, что в множестве G задана операция умножения. Относительно этой операции в множестве G имеется единица Id, т. е. такой элемент, что для любого другого элемента g множества G имеет место равенство

Id g = g Id = g

У каждого элемента g множества G есть обратный g^-1, для которого

gg^-1 = g^-1g = Id

Такое множество G называется группой.

Заметим, что умножение в G некоммутативно, т.е. произведение элементов зависит от порядка сомножителей.

Если множество M конечно и содержит n элементов, то в группе G всего n! элементов.