Числа m!/((m – k)!*k!) имеют специальное обозначение C_m^k и называются биномиальными коэффициентами. Имеет место следующая формула, называемая биномом Ньютона:

(a + b)^m = a^m + C_m¹a^m-1b + C_m²a^m-2b² + C_m³a^m-3b³ + … + C_m^m-1a¹b^m-1 + b^m

Доказательство. Раскроем скобки в выражении

(a + b)^m = (a + b) (a + b) (a + b) … (a + b).

После полного раскрытия скобок, но до приведения подобных членов мы получим длинную сумму, каждое слагаемое которой имеет вид произведения aⁱb^j с i + j = m. Например, одночлен aⁱb^j в этой сумме образуется если в первых i сомножителях (a + b) взять a, а в остальных m - i сомножителях взять b. Но, когда мы начнём приводить подобные члены, то обнаружим, что такой же одночлен aⁱb^j появится в результате любого выбора i из m сомножителей, а таких выборов мы можем сделать ровно C_mⁱ. Следовательно, после приведения подобных членов коэффициент при одночлене aⁱb^j будет равен C_mⁱ , что и требовалось.